Não, não é possível mostrar que o idioma reconhecido por um Automaton Infinite Pushdown (PDA) é decidível. De fato, o idioma reconhecido por um PDA infinito * não é * necessariamente decidível.

Aqui está o porquê:

* Infinite PDA Power: Um PDA infinito tem uma pilha ilimitada, como um PDA comum. A parte "infinita" provavelmente refere-se ao seu potencial de correr para sempre, o que é inerente a qualquer modelo de Turing-complete. O aspecto crucial é a pilha * ilimitada *. Essa iliminação oferece uma capacidade poderosa de armazenar e recuperar informações, excedendo as capacidades das máquinas de estado finitas.

* equivalência às máquinas de Turing: Uma máquina de Turing (TM) é um modelo computacional conhecido por ser equivalente em poder aos algoritmos. É capaz de simular qualquer algoritmo. Está bem estabelecido que um PDA aumentou com duas pilhas (ou mesmo uma pilha e a capacidade de mover arbitrariamente a cabeça na fita de entrada) é equivalente a uma máquina de Turing.

* idiomas indecidíveis: As máquinas de Turing podem reconhecer idiomas indecidíveis. Um idioma é indecidível se não existe uma máquina de Turing que possa interromper e determinar corretamente se uma determinada sequência pertence ao idioma. O exemplo clássico é o problema de interrupção:determinar se uma determinada máquina de Turing interromperá uma determinada entrada.

* implicação para PDAs infinitos: Como um PDA infinito com sua pilha ilimitada pode simular uma máquina de Turing, ele pode, portanto, reconhecer idiomas indecidíveis. Se um idioma não for declarável, significa que não há algoritmo (e, portanto, nenhuma máquina de Turing) que possa decidir a participação nesse idioma. Como o PDA pode simular uma máquina de Turing, ele também não pode decidir a associação a esse idioma.

em resumo:

Se "PDA Infinito" refere -se a um PDA padrão com uma pilha ilimitada, esse PDA poderá simular uma máquina de Turing. Como as máquinas de Turing podem reconhecer idiomas indecidíveis, o mesmo acontece com o PDA infinito. Portanto, o idioma reconhecido por um PDA infinito * não é * necessariamente decidível.

Exemplo:

Considere um PDA (altamente teórico) que simula uma máquina de Turing resolvendo o problema de parada. A entrada do PDA seria uma descrição de uma máquina de Turing e sua entrada. O PDA simularia a execução dessa máquina de Turing nessa entrada. O PDA aceita se a máquina de Turing simulada é interrompida e rejeitar se a máquina de Turing simulada não parar.

Como o problema de interrupção é indecidível, não há algoritmo que possa garantir determinar se a máquina de Turing simulada será interrompida. Portanto, o idioma aceito por este PDA (a linguagem das descrições e entradas da máquina de Turing onde a máquina é interrompida) também é indecidível.

Portanto, a resposta é definitivamente não.