Existem várias maneiras de demonstrar que um idioma é livre de contexto. Aqui está um colapso de técnicas e considerações comuns:
1. Forneça uma gramática sem contexto (CFG): *
o método mais direto e frequentemente usado. Se você pode projetar um CFG que gera * exatamente * as strings no idioma, você provou que é livre de contexto.
*
Definição CFG: Um CFG consiste em:
* * Não terminais (variáveis):* representados por letras maiúsculas (por exemplo, `s`,` a`, `b`).
* * Terminais:* Os símbolos do alfabeto da linguagem (por exemplo, `a`,` b`, `0`,` 1`).
* * Iniciar o símbolo:* um distinto não terminal (geralmente `s`).
* * Regras de produção:* Regras do formulário `não terminal -> sequência de terminais e/ou não terminais '(por exemplo,` s -> asb | ε`).
*
Como usar: Mostre que todas as strings no idioma podem ser derivadas do símbolo inicial usando as regras de produção. Além disso, demonstre que a gramática * não * gera seqüências de caracteres que não estão * no idioma.
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Exemplo: * Idioma:l ={a
n
B
n
| n ≥ 0} (Strings com números iguais de 'A e' B's, nessa ordem)
* CFG:
* `S -> asb | ε` (onde ε representa a corda vazia)
* Explicação:
* `S` gera o padrão principal` asb`.
* Aplicando recursivamente a regra `s -> asb`, você pode criar qualquer número de` a`s e `b`s, garantindo que eles sejam equilibrados.
* A regra `s -> ε` permite encerrar a recursão e produzir a sequência vazia (que também está no idioma quando n =0).
2. Forneça um Automaton Pushdown (PDA): *
equivalente a CFGS: Qualquer idioma aceito por um PDA é livre de contexto e vice-versa. Essa equivalência é um resultado fundamental na teoria dos autômatos.
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PDA Definição: Um PDA é um autômato finito com uma pilha. Ele pode ler símbolos de entrada, alterar seu estado e empurrar ou pop símbolos da pilha.
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Como usar: Projete um PDA que aceite exatamente as cordas no idioma. Muitas vezes, a pilha é usada para acompanhar os símbolos "incomparáveis".
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Exemplo (para o mesmo idioma l ={a
n
B
n
| n ≥ 0}): * O PDA lê 'A e os empurra para a pilha.
* Quando encontra um 'b', ele aparece com 'a' da pilha.
* O PDA aceita se ele leu toda a entrada e a pilha está vazia.
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Importante: Especifique como as transições do PDA entre os estados com base nos símbolos de entrada e no conteúdo da pilha.
3. Use propriedades de fechamento: *
linguagens livres de contexto estão fechadas sob determinadas operações. Isso significa que, se você souber que alguns idiomas são livres de contexto, pode combiná-los usando essas operações para criar novos idiomas sem contexto.
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Propriedades de fechamento: *
União: Se L1 e L2 estiverem livres de contexto, L1 ∪ L2 ficará livre de contexto.
*
Concatenação: Se L1 e L2 estiverem livres de contexto, o L1L2 ficará livre de contexto.
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Kleene Star ( *): Se L estiver livre de contexto, então L* ficará livre de contexto.
*
homomorfismo: Se L é livre de contexto e `h` é um homomorfismo (uma função que mapeia os símbolos das cordas), então` h (l) `é livre de contexto.
*
homomorfismo inverso: Se L é livre de contexto e `h` é um homomorfismo, então` h
-1
(L) `está livre de contexto. (O homomorfismo inverso pega uma string como entrada e retorna o conjunto de strings que, quando o homomorfismo é aplicado, forneça a sequência de entrada).
*
Como usar: Decomponha o idioma de destino em idiomas mais simples que você * já conhece * sem contexto e combine-os usando propriedades de fechamento.
*
Exemplo: * Mostre que L ={a
n
B
n
c
m
d
m
| n, m ≥ 0} está livre de contexto.
* L1 ={a
n
B
n
| n ≥ 0} está livre de contexto (já sabemos disso).
* L2 ={c
m
d
m
| m ≥ 0} é livre de contexto (semelhante a L1).
* L =L1L2 (a concatenação de L1 e L2).
* Como L1 e L2 são livres de contexto e os idiomas livres de contexto são fechados sob concatenação, L é livre de contexto.
4. Bombear lema para idiomas livres de contexto (para provar um idioma * não * sem contexto): *
Importante: O lema de bombeamento é usado para * refutar * que um idioma é livre de contexto. Não pode ser usado para provar que um idioma * é * sem contexto.
*
como funciona: O lema de bombeamento afirma que, para qualquer linguagem livre de contexto L, existe um comprimento de bombeamento 'P' de modo que qualquer sequência 's' em L com comprimento pelo menos 'P' possa ser dividida em cinco partes, S =Uvxyz, onde:
1. | Vxy | ≤ P (a parte do meio não é muito longa)
2. | Vy | ≥ 1 (a parte a ser repetida não está vazia)
3. Para tudo, ≥ 0, UV
i
xy
i
Z está em L (você pode repetir 'v' e 'y' qualquer número de vezes, e a sequência resultante ainda está no idioma).
*
Prova por contradição: 1. Suponha que o idioma esteja livre de contexto.
2. Suponha que exista um comprimento de bombeamento 'P', conforme descrito no lema.
3. Escolha uma string 's' no idioma que é mais longo que 'p'. A escolha de 'S' é crucial. Deve ter propriedades que tornam o bombeamento problemático.
4. Considere * todas as maneiras possíveis * de dividir 's' em 'uvxyz' que satisfazem as condições 1 e 2 do lema de bombeamento.
5. Para * cada * divisão possível, mostre que existe um 'i' (geralmente i =0 ou i =2) tal que uv
i
xy
i
Z não é * * no idioma.
6. Isso contradiz o lema de bombeamento, portanto, a suposição inicial de que o idioma está livre de contexto deve ser falsa.
Qual método usar: *
Construção de gramática/PDA: A maneira mais comum e muitas vezes mais fácil de mostrar uma linguagem * é * sem contexto. Escolha o que (CFG ou PDA) é mais fácil de construir para o idioma específico. Se o idioma parece envolver estruturas aninhadas ou recursivas, uma gramática geralmente é um bom ponto de partida. Se o idioma se prender a um comportamento de pilha, considere usar um PDA.
*
Propriedades de fechamento: Útil quando o idioma pode ser expresso como uma combinação de idiomas mais simples e já conhecidos sem contexto.
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bombear lema: Exclusivamente para mostrar um idioma * não * sem contexto.
Considerações importantes: *
idiomas regulares são livres de contexto: Todo idioma regular também é livre de contexto. Se você pode mostrar que um idioma é regular (ao fornecer um DFA, NFA ou expressão regular), você também mostrou que é livre de contexto. No entanto, geralmente um CFG ou PDA será a abordagem mais direta se o idioma for * obviamente * sem contexto.
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PDAs não determinísticos: Em geral, os PDAs não são determinísticos. Os PDAs determinísticos (DPDAs) são menos poderosos; Eles aceitam um subconjunto adequado dos idiomas sem contexto (chamados de idiomas determinísticos livres de contexto). A menos que explicitamente declarado, você pode assumir que está lidando com idiomas gerais (não determinísticos) sem contexto.
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Definição cuidadosa: Esteja você projetando uma gramática ou um PDA, seja muito preciso em suas definições. Evite a ambiguidade e explique claramente como sua construção funciona.
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Exemplos: Trabalhe em vários exemplos para obter uma boa compreensão dessas técnicas. A prática é fundamental!
Em resumo, para * provar * um idioma é livre de contexto, construa um CFG ou PDA para ele ou demonstre sua liberdade de contexto por meio de propriedades de fechamento. Use o lema de bombeamento para idiomas livres de contexto para mostrar que um idioma * não é * sem contexto. Boa sorte!
