Conjunto de adjacência:representando relacionamentos com gráficos
Um conjunto de adjacência
é uma maneira de representar a estrutura de um gráfico. Para cada vértice (nó) no gráfico, o conjunto de adjacência contém todos os vértices aos quais está diretamente conectado (seus vizinhos). Em outras palavras, é um conjunto que contém todos os vértices adjacentes a um determinado vértice.
Definição formal: Para um gráfico g =(v, e), onde v é o conjunto de vértices e e é o conjunto de arestas, o conjunto de adjacência de um vértice * v * ∈ V, indicado como adj (v), é definido como:
Adj (v) ={u ∈ V | (v, u) ∈ E}
Exemplo: Considere um gráfico simples não direcionado com vértices A, B, C e D e Bordas:
* (A, b)
* (A, c)
* (B, C)
* (CD)
Os conjuntos de adjacência para cada vértice seriam:
* Adj (a) ={b, c}
* Adj (b) ={a, c}
* Adj (c) ={a, b, d}
* Adj (d) ={c}
Conjunto de adjacência vs. Lista de adjacência: Embora em conceito semelhante, é crucial diferenciar um conjunto de adjacência de uma lista de adjacência.
*
Conjunto de adjacência: Usa um
set Estrutura de dados para cada vértice, implicando nenhuma ordem entre os vizinhos e garantindo que cada vizinho apareça apenas uma vez. Isso é ideal quando a ordem não é importante e você deseja testes de associação eficientes (por exemplo, verificar se o vértice 'x' é um vizinho de 'y'). Você não pode armazenar várias arestas entre os mesmos dois vértices (multigraph).
*
Lista de adjacência: Usa uma lista
Estrutura de dados para cada vértice, permitindo que os vizinhos sejam ordenados e potencialmente apareçam várias vezes (representando várias arestas entre os mesmos vértices). É mais flexível, mas pode não ser tão eficiente para testes de associação, se você precisar evitar duplicatas.
Vantagens de usar conjuntos de adjacência: *
Teste de associação eficiente: Verificação se um vértice * u * é um vizinho do vértice * v * (ou seja, se * u * ∈ Ajent (v)) é tipicamente O (1) em média usando uma implementação de hash.
*
Representação simples: Fácil de entender e implementar.
*
sem bordas duplicadas: Por definição, um conjunto não pode conter elementos duplicados.
Desvantagens do uso de conjuntos de adjacência: *
Ordem não preservado: A ordem em que os vizinhos são armazenados não é garantida.
*
Complexidade do espaço: Pode usar mais espaço do que representações alternativas, como matrizes de adjacência, especialmente para gráficos esparsos. No pior dos casos (gráfico completo), a complexidade do espaço é O (| v | * | v |).
*
não adequado para multigrafos: Não pode representar várias arestas entre os mesmos dois vértices.
Relação com a conectividade de rede
Os conjuntos de adjacência desempenham um papel significativo na determinação da conectividade da rede porque definem explicitamente as conexões diretas entre os vértices. Com base nessas conexões, podemos inferir várias propriedades de conectividade:
1.
Determinando componentes conectados: Ao atravessar o gráfico usando os conjuntos de adjacência, podemos identificar componentes conectados. Um componente conectado é um subgrafileiro em que todo vértice é acessível de todos os outros vértex nesse subgraf. Algoritmos como pesquisa de profundidade (DFS) ou Pesquisa Primeira Garda (BFS) podem ser implementados com eficiência usando conjuntos de adjacência para explorar o gráfico e identificar esses componentes. Se um gráfico tiver apenas um componente conectado, significa que o gráfico está conectado.
2.
calcular os caminhos mais curtos: Algoritmos como o algoritmo de Dijkstra ou BFs podem ser usados com conjuntos de adjacência para encontrar os caminhos mais curtos entre dois vértices. Esses algoritmos dependem de explorar os vizinhos de um vértice (fornecido pelo conjunto de adjacências) para descobrir os caminhos.
3.
Detectando ciclos: O DFS pode ser empregado com conjuntos de adjacência para detectar ciclos em um gráfico. Ao rastrear os vértices atualmente na pilha de recursão, podemos identificar as bordas traseiras, que indicam a presença de ciclos.
4.
Verificando a bipartidez: Podemos usar conjuntos de adjacência em conjunto com algoritmos de coloração gráfico (por exemplo, usando DFS ou BFS) para determinar se um gráfico é bipartido. Um gráfico bipartido é aquele em que os vértices podem ser divididos em dois conjuntos disjuntos, de modo que cada borda conecte um vértice em um conjunto a um vértice no outro conjunto.
5. Avaliando a robustez/resiliência: Os conjuntos de adjacência nos permitem analisar como a remoção de certos vértices ou bordas afeta a conectividade da rede. Podemos simular essas remoções e depois recalcular componentes conectados para ver se a rede se fragmentou.
em resumo: Os conjuntos de adjacência fornecem uma maneira fundamental de representar relacionamentos com gráficos. Sua eficiência nas pesquisas de vizinhos os torna uma ferramenta valiosa para vários algoritmos de gráfico que são cruciais para entender e analisar a conectividade da rede. Eles nos permitem determinar se os vértices são acessíveis um do outro, encontram caminhos entre os vértices, identificam componentes conectados e avaliam a conectividade e a resiliência gerais de uma rede. Embora tenham limitações em relação a multigrafos e uso potencial de espaço, eles continuam sendo uma representação poderosa e amplamente usada para muitos problemas relacionados a gráficos.
