Análise funcional é uma área da matemática que é o estudo de vetores, espaços vetoriais e suas operações. Essencialmente , de acordo com Mathematical Atlas , é o exame de espaços de dimensão infinita do vetor dentro de alguma estrutura ( tais como a estrutura métrica ou anel ) . Equações diferenciais e outros conceitos de cálculo de vetores são amplamente utilizados no estudo da análise funcional. Os fatos

Um espaço vetorial real é um conjunto de elementos que tem duas operações, adição e multiplicação escalar. Um espaço métrico é um conjunto com uma métrica bem como o estudo dos espaços métricos é chamado de topologia. A análise funcional é um nível avançado de de análise matemática e tem sobreposições com muitos outros tipos de matemática , incluindo equações diferenciais, física matemática , análise numérica , processamento de sinal , análise complexa e real , geometria, álgebra , topologia operador e probabilidade.

História

o termo análise funcional apareceu pela primeira vez em 1922, no título de Leçons de Paul Lévy de l' analisar fonctionelle . Desde então, o conceito de análise funcional tem sido utilizado para descrever os espaços de funções ( em particular os espaços Banach e Hilbert ) . Esta idéia deriva em grande parte do trabalho de um matemático alemão prolífico com o nome de David Hilbert , que fez muitas contribuições importantes para o campo no início e meados do século XX , de acordo com primeiros usos conhecidos.

Em particular, a análise funcional é muitas vezes visto como o estudo de espaços vetoriais normados completos recursos. Estes espaços vetoriais decorrerá ao longo de ambos os números reais e complexos e são chamados formalmente espaços de Banach . Um espaço de Hilbert ( nomeado em homenagem a David Hilbert ) é um exemplo de um espaço de Banach e é um espaço cujo produto interno cria uma norma. Análise funcional normalmente é introduzido através do estudo da linear e espaços normalizados e seguido pelos conceitos de espaços de Hilbert e funcionais lineares . Esta é seguida pela noção de espaços duais de Banach , a teoria de Hahn- Banach , operadores lineares limitados (assim como operadores compactos , operadores de duplas, e operadores invertíveis ), e , finalmente, os muitos aspectos da teoria espectral .
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Função

o conceito de espaços de Banach e de Hilbert são de grande importância para a matemática pura , porque eles são fundamentais para a compreensão da mecânica quântica e outras áreas da física. Além disso, de acordo com a Análise Funcional : An Introduction , o papel mais importante da análise funcional é continuar a desenvolver a linguagem matemática para a compreensão do mundo que nos rodeia. Matemática do século XX é quase totalmente baseada na análise funcional , porque é o estudo das "operações" e seu " espectro ".

Applications

Análise funcional tem muitas aplicações . De acordo com o Atlas de Matemática , que incluem modelos de variedades em espaços lineares topológicos , topologia geral (como espaços vetoriais topológicos ) e espaços métricos (tais como espaços vetoriais normed , funções de distância , e os produtos internos ) .
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