A complexidade do tempo do Quicksort quando o primeiro elemento é escolhido como o pivô é:

* pior caso:o (n^2)
* Melhor caso:o (n log n)
* caso médio:o (n log n)

Explicação:

* pior caso:o (n^2)

Isso ocorre quando a matriz de entrada já está classificada (em ordem ascendente ou descendente) ou quase classificada. Quando a matriz é classificada, o pivô sempre será o menor (ou maior) elemento. Isso resulta em partições altamente desequilibradas.

Por exemplo, se a matriz for classificada em ordem ascendente e o primeiro elemento é sempre o pivô:

1. O primeiro elemento é escolhido como o pivô.
2. Todos os outros elementos são maiores que o pivô, então todos acabam na partição certa.
3. A partição esquerda está vazia.
4. A chamada recursiva é feita em uma sub-matriz de tamanho `n-1`.

Esse processo se repete, levando a uma profundidade de recursão de `n`. Em cada nível `i` da recursão, realizamos comparações` n - i`. O número total de comparações se torna aproximadamente `n + (n-1) + (n-2) + ... + 1`, que é igual a` n (n + 1)/2`, que é o (n^2).

* Melhor caso:o (n log n)

O melhor cenário acontece quando o pivô divide consistentemente a matriz em duas metades iguais (ou quase iguais). Nessa situação, a profundidade da recursão se torna `log n` e, em cada nível, realizamos comparações` n`, resultando em uma complexidade de tempo de `o (n log n)`.

* caso médio:o (n log n)

Em média, o QuickSort tem um desempenho muito bom. Quando a seleção do pivô produz consistentemente partições razoavelmente equilibradas, a complexidade do tempo é `o (n log n)`. A "média" assume que a entrada é ordenada aleatoriamente e a seleção do pivô não é consistentemente ruim.

Impacto da escolha do pivô:

A escolha do pivô afeta significativamente o desempenho do Quicksort. Escolher o primeiro elemento como pivô é uma estratégia ingênua e pode levar ao pior cenário em muitas situações comuns.

Técnicas de mitigação :

Para evitar o pior cenário ao usar o QuickSort, é crucial escolher um bom pivô. Aqui estão algumas técnicas comuns:

* pivô aleatório: Escolher um elemento aleatório, pois o pivô é uma maneira simples e eficaz de evitar o pior cenário. Isso torna o desempenho do algoritmo menos dependente da ordem inicial da entrada.

* Mediana de três: Escolha a mediana dos primeiros, meio e último elementos da matriz como pivô. Isso geralmente fornece um pivô melhor do que simplesmente escolher o primeiro elemento.

* Outras estratégias de seleção de pivô: Existem estratégias de seleção de pivô mais sofisticadas, mas elas geralmente adicionam despesas gerais que superam seus benefícios para casos de uso típicos.

em resumo:

O uso do primeiro elemento como pivô no Quicksort pode ser uma estratégia ruim, especialmente se a matriz de entrada provavelmente for classificada ou quase classificada. É melhor usar estratégias de seleção de pivô que tentam produzir partições mais equilibradas para garantir que o algoritmo opere mais perto de sua complexidade de tempo médio de caso `o (n log n).