O Facebook Messenger não mostrar você como "ativo" quando não estiver usando o aplicativo. Ele só mostra seu status como "ativo" quando você está usando o aplicativo ativamente ou com o telefone ligado e conectado à internet.

Quando você não estiver usando o aplicativo, seu status aparecerá como “offline”. Se quiser aparecer offline para seus contatos, você pode desativar o recurso “Status Ativo” nas configurações do aplicativo.